Тред №315972

Я буду в основном говорить о волнах и волновом уравнении. Отмечу, что уравнения динамики жидкости и твердого тела в классической механике обычно выражаются в двух формах – лагранжевой и эйлеровой. Уравнения в форме Лагранжа описывают движения индивидуальной частицы жидкости или твердого тела (точнее, некоторого элемента объема, состоящего из многих частиц). Координаты  (x, y, z)  частицы считаются функциями времени и трех параметров  (a, b, c),  в качестве которых часто выбираются координаты частицы при  t = 0. Уравнения в форме Эйлера описывают  то, что происходит в некоторой точке пространства  (x, y, z)  (точнее, с неким бесконечно малым элементом длины, поверхности или объема) на протяжении некоторого промежутка времени. Рассматриваются силы, скорости, смещения и т.д. применительно именно к этому малому элементу, и для него выводятся дифференциальные уравнения. Для полного описания поведения системы, задаются еще начальные и граничные условия.

Я предлагаю третий подход. Вместо того, чтобы рассматривать силы, скорости и смещения некого элемента среды (или некой частицы), расположенного в произвольной точке пространства, мы будем начинать анализ распространения волн с их источника. Есть источник, он создает какую-то силу, действующую на окружающие его элементы среды (которые не расположены где-то далеко, а прямо и непосредственно контактируют с источником), эта сила вызывает смещение этих элементов, которые приобретают ускорение, скорость, далее они воздействуют на соседние с ними элементы среды, и т.д. Причем, что важно с физической точки зрения – источник создает не единичную волну, которая затем распространяется по покоящейся  среде, а множество волн, непрерывно генерирует их. Кроме того, если мы хотим обсудить теорию относительности, мы должны рассмотреть движение источника относительно среды.

Однако, прежде чем приступить к этой задаче, нам необходимо рассмотреть само понятие функции, ее производной и дифференциала. Как ни дико это звучит, физика оперирует неверными определениями полного дифференциала, дивергенции, ротора и т.п. Неудивительно, что такие ошибки делают почти все уравнения физики полностью неверными.

Я покажу это на нескольких простых примерах. Очевидно, что вместо частных примеров, это все легко написать в общей форме, но мне кажется, что на конкретных примерах эти принципы будет легче понять. Позже это будет переписано в более строгой, более формальной форме, сейчас же я просто хочу донести свои мысли до первой аудитории.

Нас будут интересовать только гладкие функции. Что такое функция от одного аргумента? Скажем, функция   y = 3x^₃? Она представляет собой кривую линию, проходящую через ноль. Ее производная   dy/dx = 9х^₂. Каждому значению  x  соответствует определенное значение  y.  Но: не каждой точке с координатами  (х, у)  соответствует какое-то значение кривой   y = 3x^₃.  Большинство точек на плоскости  (х, у) – «пустые».

А сейчас рассмотрим другую кривую:   y = 3(x – 2)^₃. Она выглядит точно так же, как   y = 3x^₃, но сдвинута относительно нее вправо на две единицы. Аналогично ведут себя функции  

y = 3(x – 3.3)^₃  
y = 3(x – 5.4)^₃
y = 3(x – 83.23)^₃

Они сдвинуты относительно функции   y = 3x^₃  вправо на 3.3, 5.4 и 83.23, соответственно. Очевидно, что все эти кривые образуют семейство функций, которые описываются формулой   y = 3(x – u)^₃,   где  u – это другая непрерывная переменная. Варьируя u, мы получаем, что теперь через каждую точку на плоскости (х, у) проходит какая-то кривая из семейства  y = 3(x – u)^₃. Заметим, что на плоскости (x, y) – это разные кривые, разные функции. Однако, если мы сообразим, что  y = 3(x – u)^₃  – это функция от двух аргументов  x  и  u, а не от одного только  x,  то мы можем изобразить зависимость  y(x, u)  уже не на плоскости  (x, y),  а в трехмерном пространстве  (x, u, y),  причем теперь это не семейство функций, а одна функция. Назовем такую функцию  y(x, u)  в трехмерном пространстве полной функцией (full, or total function), а индивидуальные функции  y(x, u)  в двухмерном пространстве – единичными функциями (singular functions). (((Вопрос к аудитории: какой термин лучше – единичная функция или индивидуальная функция?))) Для каждой единичной функции,  u – это константа. Обозначим ее как  u_c,  чтобы отличать единичные функции  y(x, u_c)  с постоянным значением u_c от полной функции  y(x, u)  с переменной  u.

Только в этом трехмерном пространстве будут иметь смысл полный дифференциал  Dy  и частные производные  ∂y/∂x  и  ∂y/∂u:

Dy = (∂y/∂x)dx + (∂y/∂u)du = 9(x – u)^₂dx – 9(x – u)^₂du = 9(x – u)^₂(dx – du)

Если же мы, по какой-то причине, не хотим считать  u  независимой переменной и полагаем, что  y - это функция только от  x,  упорно изображая все семейство кривых  y = 3(x – u_c)^₃ на плоскости  (x, y), то, разумеется, ни о каком полном дифференциале  Dy  мы даже задумываться не будем. Есть только производная от  y  по  x,  и точка. При этом, хотя мы теперь можем найти производную  dy(x)/dx  для любой точки плоскости   (x, y),  то есть «пустых» точек на этой плоскости больше нет, эти производные на самом деле принадлежат разным единичным функциям  y(x, u_c),  поскольку значения u_c  у них разные.

Рассмотрим теперь функции вида  

y = 3(x – 2)^₃ + 2
y = 3(x – 5.4)^₃ + 7.83
y = 3(x – 83.23)^₃ + 4.125
и т.д.

Заметим, что это семейство функций мы тоже можем нарисовать на одной плоскости  (x, y). Очевидно, они образуют другое семейство кривых вида   y = 3(x – u)^₃ + p, которые сдвинуты вверх на величину  p  по сравнению с  y = 3(x – u)^₃. Подчеркнем, что на одной плоскости это разные единичные функции. Только в четырехмерном пространстве  (x, u, p, y)  одна-единственная функция  y(x, u, p)  будет описывать все значения  u и p.  Поэтому она и является полной.

В этом четырехмерном пространстве, полный дифференциал  Dy(x, u, p)  будет равен:

Dy(x, u, p) = (∂y/∂x)dx + (∂y/∂u)du + (∂y/∂p)dp = 9(x – u)^₂dx – 9(x – u)^₂du + dp

Заметим, что если мы изобразим функцию  y = 3(x – u)^₃ + p  не в четырехмерном, а в трехмерном пространстве  (x, p, y),  где разным значениям  u_c  соответствуют разные функции  y(x, u_c, p),  то в этом случае мы тоже можем говорить о дифференциалах  dy(x, u_c, p),  но эти дифференциалы – разные для разных единичных функций  y(x, u_c, p).  Например, для  y = 3(x – 2)^₃ + p  и  y = 3(x – 6.73)^₃ + p  они будут равны:

dy(x, 2, p)  = (∂y(x, 2, p)/∂x)dx + (∂y(x, 2, p)/∂p)dp = 9(x – 2)^₂dx + dp

dy(x, 6.73, p)  = (∂y(x, 6.73, p)/∂x)dx + (∂y(x, 6.73, p)/∂p)dp = 9(x – 6.73)^₂dx + dp

Соответственно, в трехмерном пространстве  (x, p, y)  рассматриваться эти дифференциалы должны по отдельности для каждой функции  y(x, u_c, p). Назовем такие дифференциалы не полными, а единичными (singular differentials). (((Я бы, возможно, предпочел использовать термин частные дифференциалы, но он уже занят.)))