Тред №315997

Я думаю, теперь легко понять, почему ранее упомянутый аргумент из книги Leigh Page ”Introduction to Theoretical Physics” неверен. Приведу эту цитату еще раз:
 

 
 
(я с удовольствием заменю это на русский текст, если мне дадут ссылку на подходящую книгу)

Здесь, на самом деле, много ошибок (прежде всего, в уравнении полностью отсутствует источник и какой-либо намек на его движение), но я их касаться сейчас не буду . Позже я именно об этом буду много говорить. Главным для меня сейчас является вот такой аргумент:

Если электрический заряд двигается по оси х, напряженность электрического поля Е в точке (x + vdt, y, z) в момент времени  t + dt  должна быть такой же, как в точке  (x, y, z)  в момент  t, то есть

E(x + vdt, y, z, t + dt) = E(x, y, z, t)

В то же время, левый член, в соответствии с принятым в физике определением полного дифференциала (не моим определением, разумеется) можно разложить на

E(x + vdt, y, z, t + dt) = E(x, y, z, t) + (∂E/∂x)vdt + (∂E/∂t)dt

Отсюда получается

∂E/∂t  = – v (∂E/∂x)

Повторив эту математическую манипуляцию еще раз, получаем

∂^₂E/∂t^₂  = v^₂ (∂^₂E/∂x^₂)

а также

(1 – β^₂)(∂^₂E/∂x^₂) + ∂^₂E/∂y^₂ + ∂^₂E/∂z^₂ = 0

Я даже не буду останавливаться на том, что после этих математических манипуляций трехмерное волновое уравнение со скоростью распространения волн  c  трансформировалось в одномерное волновое уравнение со скоростью распространения волн  v  и в уравнение Лапласа со «сплющенной» координатой  х, что не имеет никакого физического смысла. Меня здесь интересует только это уравнение:

E(x + vdt, y, z, t + dt) = E(x, y, z, t) + (∂E/∂x)vdt + (∂E/∂t)dt

Предположительно, это уравнение следует из определения «классического» полного дифференциала:

dE = (∂E/∂x)dx + (∂E/∂y)dy + (∂E/∂z)dz + (∂E/∂t)dt

Полагая  dx = vdt,  dy = 0,  dz = 0, dt = dt,  автор и получил вышеприведенное уравнение.

Однако мы же теперь вооружены всесильным, потому что верным, определением полного дифференциала DЕ как:

DE(x, y, z, ξ, t, ԏ) = (∂E/∂x)(dx – dξ) + (∂E/∂y)dy + (∂E/∂z)dz + (∂E/∂t)(dt – dԏ)

Благодаря этому определению, мы сразу видим, что вместо  E(x, y, z, t) и E(x + vdt, y, z, t + dt)  следует использовать  E(x, y, z, ξ, t, ԏ)  и  E(x + vdt, y, z, ξ + vdt, t + dt, ԏ + dt). Необходимо, таким образом, учитывать не только  dx = vdt,  dy = 0,  dz = 0,  dt = dt,  но и  dξ = vdt  и  dԏ = dt. И поскольку  dx = dξ  и  dt = dԏ (а также  dy = 0,  dz = 0), то при переходе от точки  (x, y, z, ξ, t, ԏ)  к точке  (x + vdt, y, z, ξ + vdt, t + dt, ԏ + dt), как  (∂E/∂x)(dx – dξ),  так и  (∂E/∂t)(dt – dԏ)  равны  0.  Никакого равенства

∂E/∂t  = – v (∂E/∂x)

нет, а следовательно, нет и никакого сжатия по оси  х.

В рамках предлагаемой теории, «классический» полный дифференциал на самом деле является всего лишь единичным дифференциалом. Он имеет смысл только для фиксированных значений  ξ  и  ԏ:

dE(x, y, z, ξ_с, t, ԏ_с) = (∂E/∂x)dx + (∂E/∂y)dy + (∂E/∂z)dz + (∂E/∂t)dt ,

то есть только для единичной волны, испущенной в точке (ξ_с, 0, 0) в момент времени  ԏ_с. Как уже говорилось выше, при увеличении  t  на  dt, волна эта перемещается на расстояние  cdt, причем  x, y и z  изменятся одновременно и пропорционально скорости распространения волны  c  (а не скорости источника  v):

dx = cdt cos α
dy = cdt cos β
dz = cdt cos γ

Таким образом, в момент  t + dt  эта единичная волна из точки  (x, y, z)  сместится в точку 

(x + cdt cos α,  y + cdt cos β,  z + cdt cos γ).

Что касается E(x, y, z, t) и E(x + vdt, y, z, t + dt), то очевидно, что они принадлежат разным единичным волнам, разным единичным функциям. Уравнение же

E(x + vdt, y, z, t + dt) = E(x, y, z, t) + (∂E/∂x)vdt + (∂E/∂t)dt

не имеет ни физического, ни математического смысла.

Я уделил так много внимания этому уравнению, потому что в нем в наиболее ясной и простой форме выражена типичная ошибка математической физики: полный дифференциал не включает частных производных по координатам движущегося источника как независимым переменным, и вообще движение источника никак не отражается в волновом уравнении. Кроме того, вышеприведенный аргумент с выведением

(1 – β^₂)(∂^₂E/∂x^₂) + ∂^₂E/∂y^₂ + ∂^₂E/∂z^₂ = 0

исторически сыграл важную роль в признании преобразований Лоренца и теории относительности, поскольку здесь в рамках вроде бы совершенно классической электродинамики и векторного анализа получается «сжатие» поля частицы в направлении ее движения. Я хотел показать, что этот аргумент неверен – вследствие неверного понимания, что такое полный дифференциал функции.

Далее, очевидно, что полная функция  f(x, y, z, ξ, η, ζ, t, ԏ)  будет описывать волны только от одного движущегося источника. Если источников два, то взаимодействующие волны от этих источников потребуют введения не 4-х дополнительных координат  ξ, η, ζ, ԏ,  но 8-ми координат:  ξ_₁, η_₁, ζ_₁, ԏ_₁, ξ_₂, η_₂, ζ_₂, ԏ_₂. Для n движущихся источников, потребуются уже 4n дополнительных координат:  ξ_₁, η_₁, ζ_₁, ԏ_₁, ξ_₂, η_₂, ζ_₂, ԏ_₂ … ξ_n, η_n, ζ_n, ԏ_n. Аналогично изменится и полный дифференциал этой полной функции. Позже мы вернемся к этому вопросу. в частности, пересмотрим основные положения векторного анализа.