Тред №67503

Цитата: обыватель от 30.11.2008 05:19:04
2 rommel.ua
Если а>10, то b никак не может быть натуральным, ибо будет отрицательным (связь берем из условия что b/a=a.b)...
1) что может следовать из того что а=11? - пмсм только то, что в>121, откуда берётся утверждение об отрицательной величине в?

Цитата: обыватель от 30.11.2008 05:19:04

 

Роммель неточно записал условия. Правильнее так:
a + b/10^n = b/а где n - число разрядов числа b.
b>a
После преобразований имеем:
b= (10^n * а^2)/(10^n -а) Отсюда при n=0 a=0 b=0
                                     n=1 a=2 b=5
                                     n>=2 нет решения

• +0.00 / 0

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 15:38:16
Роммель неточно записал условия. Правильнее так:
a + b/10^n = b/а где n - число разрядов числа b.
b>a
После преобразований имеем:
b= (10^n * а^2)/(10^n -а) Отсюда при n=0 a=0 b=0
                                     n=1 a=2 b=5
                                     n>=2 нет решения  

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 15:38:16

 

хм... бегло просмотрел задачу, получил, что необходимым условием будет то, чтобы
(Vm,n из N, m <> (1 - мне стыдно, 1 причислил к простым!!)2,5, m - простое) (a и (10^n - a) НЕ делились на m ОДНОВРЕМЕННО). Вроде с наскока дальше не доказывается, ув ИнженеГр приведите решение плз).
Еще 1 НЕОБХОДИМОЕ условие, что (n+1)/2 > log(a) > n/2 (все знаки строгие, нестрогие выражения чуть сложнее, а особого смысла тянуть его нету).

• +0.00 / 0

Цитата: обыватель от 30.11.2008 05:19:04
2 rommel.ua

Если а>10, то b никак не может быть натуральным, ибо будет отрицательным (связь берем из условия что b/a=a.b). Ну а потом на полную пользуем условие "взаимной простоты" Улыбающийся) и вуаля...

1) что может следовать из того что а=11? - пмсм только то, что в>121, откуда берётся утверждение об отрицательной величине в?

2) что вы вкладываете в понятие на полную пользуем условие "взаимной простоты"?

Цитата: обыватель от 30.11.2008 05:19:04

 

b/a=a.b что это значит? Это можно представить как
b/a=a+b/10  =>   b=10*a²/(10-a)
откуда получим, что при а>10, b<0, чего не может быть, т.к. по условию а и b натуральные   => отсюда мое утверждение, что а<10.
А далее логика подобна представленной Инженегром. Если а<10, то оба числа состоят только из одной цифры. Первая и единственная пара простых чисел а=2, b=5.

• +0.00 / 0

Цитата: rommel.ua от 30.11.2008 16:27:30
b/a=a.b что это значит? Это можно представить как
b/a=a+b/10  =>   b=10*a²/(10-a)
откуда получим, что при а>10, b<0, чего не может быть, т.к. по условию а и b натуральные   => отсюда мое утверждение, что а<10.
А далее логика подобна представленной Инженегром. Если а<10, то оба числа состоят только из одной цифры. Первая и единственная пара простых чисел а=2, b=5.

Цитата: rommel.ua от 30.11.2008 16:27:30

 

пмсм НИЧЕГО не следует из Вашего предположения. Записав вот это  b/a=a+b/10 именно Вы сами и ограничили b десятью, почему-то предположив, что чисел больше 10, а тем более натуральных в природе нет а вот то что а оказалось меньше 10 явилось СЛЕДСТВИЕМ Вашего предположения(b то Вы лично урезали, как того осетра) . Мы ведь о математике говорим? Это частный случай , т е подмножество возможных вариантов решения.

2 Инженегр

а ПОЧЕМУ при n>=2 решений нет?

• +0.00 / 0

Цитата: обыватель от 30.11.2008 18:45:57
пмсм НИЧЕГО не следует из Вашего предположения. Записав вот это  b/a=a+b/10 именно Вы сами и ограничили b десятью, почему-то предположив, что чисел больше 10, а тем более натуральных в природе нет а вот то что а оказалось меньше 10 явилось СЛЕДСТВИЕМ Вашего предположения(b то Вы лично урезали, как того осетра) . Мы ведь о математике говорим? Это частный случай , т е подмножество возможных вариантов решения.

2 Инженегр

а ПОЧЕМУ при n>=2 решений нет?

Цитата: обыватель от 30.11.2008 18:45:57

 

Решение задачи, собственно, разбивается на 2 части. Во-первых, нахождение решения  :D , а во-вторых, доказать, что других нет.
Решение а=2, b=5 мы знаем.
Докажем, что оно единственное. Поскольку b/a не является бесконечной периодической дробью, то а может быть только вида 2ⁿ*5^m, где n,m - целые неотрицательные числа.
С другой стороны произведение ab должно давать в результате степень десятки (понятно почему?).
Т.е. b должно иметь вид 2^k-n*5^k-m.
Поскольку по условию задачи a и b - взаимно простые числа, то имеем, что
a = 2ⁿ, b = 5ⁿ, т.к. b>a.
Кроме того, b > a²(выполняется всегда) и b < a²+a , по условию задачи. Последнее неравенство выполняется только при n=1.
Dixi

• +0.00 / 0

Цитата: обыватель от 30.11.2008 18:45:57
2 Инженегр
а ПОЧЕМУ при n>=2 решений нет?

Цитата: обыватель от 30.11.2008 18:45:57

 

Я рассуждал так:
представим числа a и b в виде К*10^0 + К*10^1 + К*10^2 +...К*10^м
где к - любое число в диапазоне от 1 до 9, а м - вообще любое натуральное число.
Но если выписать ряд чисел от 1 до 9, то легко видеть, что условию задачи не иметь общих делителей удовлетворяют только числа 1,2,3,5,7.
Если тривиально вычислить все возможные значения чисел a и b для двухразрядных чисел, то условию задачи по делителям удовлетворят только числа  11,13,17,23,31,37,53,71,73. Но даже для самой разнесённой пары чисел 73 и 11 частное будет =6,636 - и число трансцендентное, да и оно меньше, чем 11,73.Не выполняется второе условие. Нет решения. такое же рассуждение и для трёхразрядных чисел, а там индукция...

Но Петрушка сумел обойтись без индукции и дедукции, и, тем не менее, дал продукцию Зачетно.  ::)

• +0.27 / 1

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35
Но Петрушка сумел обойтись без индукции и дедукции, и, тем не менее, дал продукцию Зачетно.  ::)

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35

 

Вот и я о том же.
Как я вчера писал, решение пришло быстро. т к множество пар ограничено снизу a² и ограничено сверху a(a+1). Кроме того, произведение a*b должно быть степенью 10 т е 2ⁿ*5ⁿ. Далее очевидно. Я, правда использовал графическое решение, просто оно нагляднее.


А тут начали писать об отрицательных значениях, делать какие то удивительные выводы и просто приводить решение без всяких доказательств. А это всё таки математика.

• +0.00 / 0

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35
Я рассуждал так:
представим числа a и b в виде К*10^0 + К*10^1 + К*10^2 +...К*10^м
где к - любое число в диапазоне от 1 до 9, а м - вообще любое натуральное число.
Но если выписать ряд чисел от 1 до 9, то легко видеть, что условию задачи не иметь общих делителей удовлетворяют только числа 1,2,3,5,7.
Если тривиально вычислить все возможные значения чисел a и b для двухразрядных чисел, то условию задачи по делителям удовлетворят только числа  11,13,17,23,31,37,53,71,73. Но даже для самой разнесённой пары чисел 73 и 11 частное будет =6,636 - и число трансцендентное, да и оно меньше, чем 11,73.Не выполняется второе условие. Нет решения. такое же рассуждение и для трёхразрядных чисел, а там индукция...

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35

 

 Это не доказательство, а словоблудие  ;D.

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35
Но Петрушка сумел обойтись без индукции и дедукции, и, тем не менее, дал продукцию Зачетно.  ::)

Цитата: Инженегр от 30.11.2008 22:19:35

 

 Методом подбора первую часть задачи решили 9 из 10 решавших её .

По школьной 5-бальной системе за решение - тройка.  :P

• +0.00 / 0