А как же оно тикает?
11,411,070 15,343
 

  Dobryаk ( Практикант )
29 мар 2009 21:56:17

Тред №97660

новая дискуссия Дискуссия  395

Хорошая задачка:

гора в виде конуса, обледенелая и совершенно гладкая, И восходит альпинист без кошек: накинул  вокруг нее петлю и концы к себе выбирает. И так вытягивает себя наверх. Ежели конус недостаточно острый, то ни шиша не получится...

Спрашивается: что такое недостаточно острый?

Если с горы снять "шкуру" и до вершины разрезать конус , и разложить его на плоскости, то получится круг с вырезанным сектором. Каким должен быть угол вырезки, чтобы восхождение состоялось?
Отредактировано: Dobryаk - 01 янв 1970
  • +0.00 / 0
  • АУ
ОТВЕТЫ (6)
 
 
  rommel.lst ( Слушатель )
30 мар 2009 00:21:22

Классная задачкаУлыбающийся
когда начинаешь тянуть, то сначала веревка идет вверх по противоположному склону, до тех пор пока петля не станет перпендикулярной ему. Только после этого начнешь двигаться сам. При этом синхронно с движением человека едет вверх и веревка, оставаясь все время перпендикулярной противоположному скату.

В итоге:
- если угол конуса больше 90 градусов, то веревка будет подниматься до самой вершины, соскочит с нее, но ты сделать ни шагу не успеешь.
- если угол конуса 90градусов, то первоначальный подскок веревки будет до самой вершины. И сделав шаг, ты получишь соскок веревки с конуса.
- если угол конуса меньше 90 градусов, то дойти до самой вершины все равно не получится. Чем острее конус, тем выше есть возможность подняться таким способом.
Формулы вбивать мне леньУлыбающийся
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
 
  Dobryаk ( Практикант )
30 мар 2009 00:40:11


Молодчага, Роммель!

5+ баллов! Задача и вправду классная, мне особенно приятно было смотреть, как несколько немецких профессоров смотрели на доску как бараны!

А теперь совершенно тупое математическое решение. Натянутая петля на склоне ляжет по геодезической. Когда мы гору развернем на плоскость разрезав вместе с альпинистом,  то след ее будет отрезком прямой, так как на плоскости геодезическая --- это прямой отрезок. Если развертка менее 180 градусов, то отрезок лежит на развертке, т.е., на склоне. Если больше 180 --- отрезок захочет пойти  через пустое место --- веревка не хочет лежать на склоне. Офигеть, но первый человек в родном институте, будущий академик, выдал именно это решение: от многого ума многая печали!

Конечно, для физика критическое место --- веревка перпендикулярна противоположному склону! И именно так решила пара дюжин школьников из примерно 300 на физтеховской олимпиаде в 66-м или 67-м  году.
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
  Kostyan_ ( Слушатель )
30 мар 2009 16:08:36


В задаче есть 2 части. Одна (лично для меня) с заковыркой:
1. Найти при каком угле наклона к плоскости сечения к земле будет достигаться экстемальное (минимальное) значение периметра секущего эллипса (по которому [периметру эллипса] и должна пройти веревка)
Потребовать выполнение этого условия.
2. Доказать: периметр минимального секущего эллипса - минимальная из всех возможных длин замкнутых линий на конусе, проходящих через точку.
Доказательство последнего пункта как раз и не кажется мне тривиальным, при своей очевидности.

П.С. Если я правильно понимаю ответ: pi*sqrt(2) = 180*sqrt(2)[град]
П.П.С. А минимальный периметр секущего эллипса будет достигаться при перпендикулятности плоскости и образующей конуса, в верхней точке эллипса? (по-моему это взято слишком по аналогии с кратчайшим расстоянием от прямой до плоскости).

Надеюсь не очень сумбурно расписал.
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
 
  Dobryаk ( Практикант )
30 мар 2009 17:37:35

Важно одно: при данной длине петли, в статике, каждый элемент петли должен давить на свой участок склона строго по перпендикуляру к поверхности. Если это не так, то будет составляющая силы вверх или вниз и веревка в данном месте будет скользить, пока себе этот перпендикуляр не найдет. Роммель это на самой задней стенке горы красочно описал. Если конус достаточно острый, то такое состояние существует и единственное.

На пределе, две параллельных участка петли идут к микроскопической высоты участку острия конуса, на котором альпинист и видит. Вид сбоку: бесконечно меньше 90 градусов. Вот это и надо было сообразить школьникам на олимпиаде, и такие были.

Теперь проблема с профессорами и коллегами: они в это условие перпендикулярности давления к повехности конуса так упирались, что все умственные усилия уходили в пар: именно в попытку угадать форму сечения. А по задаче же требуется всего навсего указать границу: те самые 90 градусов в виде сбоку (****). Чтобы это не было такой уж откровенной подсакзкой, и чтобы хоть слегма мОзги припудрить, я и завел речь о развертке. Но Роммель на это не купился.


(****) P.S. Kлассическя оговорка, надо 60!
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
 
 
  Kostyan_ ( Слушатель )
31 мар 2009 09:24:45


Спасибо Добряк!! "каждый элемент петли должен давить на свой участок склона строго по перпендикуляру к поверхности" == "наименьшая длина петли охватывающая конус" (поскольку кроме натяжения веревки другие силы отсутствуют).
Далее метрика развертки в точности совпадает с метрикой конуса, из чего и ищем кратчайшее расстояние проведя всего 2 перпендикуляра!!
(вчера понял это, правда уже на разминке в бассейне), теперь вот ломаю голову: как будет выглядеть эта кривая, если развертку обратно "свернуть" в конусВеселыйВеселый

Кстати слово "развертка" - скорее подсказка к этой задачке, блин как сразу не догадался!
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
 
 
 
  Dobryаk ( Практикант )
31 мар 2009 09:42:23

В виде "в профиль" веревка  не будет смотреться прямой!  Если альпинист справа, то слева вначале будет перпендикуляр к левому склону, а потом кривая будет выгибаться слегка вниз. А на самой поверхности она прямая, любое уклонение вправо/влево будет тут же выправлено натяженем веревки. Скажем, если перекинете веревку чрез гладкую горизонтальную балку и повиснете не ней, то след веревки после "развертки" бревна будет обязательно прямой линией.

Если поверхность конуса утыкать иголками ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО к поверхности, то после развертки все иголки останутся таки перпендикулярными.
  • +0.00 / 0
  • АУ
 
<< Тред №97659
Тред №97661 >>