Родился в Минске в семье военнослужащего.
В 1944 году закончил 1-е Ленинградское артиллерийское училище, эвакуированное в город Энгельс.
Участник Великой Отечественной войны, штурмовал Берлин. Войну закончил в звании лейтенанта.
В 1956 году Дроздов закончил Военный институт иностранных языков и был переведён в Комитет государственной безопасности.
В августе 1957 года был направлен в Берлин в Аппарат уполномоченного КГБ в качестве оперативного работника. В связи с арестом в США Рудольфа Абеля Дроздов принимал участие в операциях разведки по его обмену на американского лётчика Фрэнсиса Пауэрса.
В 1963 году после завершения служебной командировки в Германию Дроздов был направлен на курсы усовершенствования оперативного состава.
В августе 1964 года был направлен в долгосрочную командировку в Китай, где находился до 1968 года в качестве резидента внешней разведки органов государственной безопасности. После работы в Центре в 1975 году был назначен резидентом внешней разведки в Нью-Йорке, где находился до 1979 года под прикрытием заместителя постоянного представителя СССР при ООН.
В ноябре 1979 года Юрий Иванович был назначен Начальником управления нелегальной разведки ПГУ КГБ СССР, которое возглавлял до 1991 года.
Юрий Дроздов - участник афганских событий, инициатор создания и руководитель разведывательно-диверсионного подразделения "Вымпел", предназначенного для проведения операций за пределами СССР в "особый период".
С 1991 года генерал-майор Дроздов в отставке. Возглавляет аналитический центр "НАМАКОН", является почётным Президентом Ассоциации ветеранов подразделений специального назначения и спецслужб "Вымпел-Союз".
Автор книг "Нужная работа", "Вымысел исключён", "Записки начальника нелегальной разведки".
За годы деятельности Юрий Иванович Дроздов был награждён орденами Октябрьской Революции, Красного Знамени, Трудового Красного Знамени, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, многими медалями, а также нагрудными знаками "Почетный сотрудник госбезопасности" и "За службу в разведке".
Имеет правительственные награды ГДР, Польши, Кубы, Афганистана.