Тред №140052

Цитата: Dobryak
p=5,  корней одна штука.

Думал я одну минуту, подсказка про число корней слишком сильная, ее надо всего навсего переписать как

-(р-5)*(р-5)+1

Ну а потом надо сообразить, каковы значения двух функций при х=0, сообразить, какя растет быстрее, и что пересечение двух графиков с должной сдвижкой обеспечено. На это у меня ушло бы минут 10. И минут 5 на оформление в беловике.

Школьником смог бы и быстрее.

Браво!!! Я бы даже сказанул "Брависсимо!!!"

А теперь

Решение:
                                                                   
    1) Так как 32^0,4x+0,2  =    (2⁵)^0,4x+0,2 =  2^2x+1  =  2 *4^x ,

                      0,125^{-x/ 3}  =   (2^-3 )^-x/3  = 2x ,

                 
    то     (3 p - 14)*4^x  +  (29p - 154)2^x  + 11p -  41=  0 .
                           
                                                                               
    Пусть t  =  2x =>0. Тогда получаем квадратное уравнение относительно t  с   параметром p :

               
    (3p -14)t²   + (29p -154)t +11p -41 =  0 .          (*)

    Значит, число n  различных корней исходного уравнения не больше 2 .
                                                                 
     2) Если n  =  2 , то по условию 10p - p²  - 24 =    2,  то есть p²  - 10p +26 =  0,  что  невозможно, т.к. D = -4 < 0.

Таким образом остаются случаи n =1 и n =  0 .
         
     Если  n = 1, то 10p -p²  - 24 = 1,  p²  - 10p +25 = 0,  p = 5.  Тогда уравнение (*)  примет вид
                                                         
     t²  - 9t +14 = 0,  t₁ =  2,  t₂ =  7 . Так как t = 2^x , то
                       
    x₁ = 1, x₂ =  log₂7   То есть   n = 2    . Противоречие с предположением, что n = 1.
     
                                                     
     3) Если n = 0 , то 10p - p²  -24 = 0, p²  -10p +24 =  0,  p₁ = 4,  p₂ =  6.
 
    Пусть p = 4 . Тогда уравнение (*)     примет вид  - 2t²  - 38t +3 = 0 .  Ветви   параболы направлены вниз,  ось Oy   она пересекает выше точки (0;  0) .      Поэтому уравнение (*) имеет ровно один положительный корень t₀   и  исходное уравнение имеет ровно один корень x = log₂  t₀ . Значит,   n = 1.
                                                                       
    Противоречие с равенством n = 0.


    Пусть  p = 6 .    Тогда  уравнение  (*)   примет   вид    4t²  + 20t +25 = 0,      t = - 5/2.
                         
     Так как  t = 2^x  > 0 , то исходное уравнение не  имеет корней. Значит,  p =  6 удовлетворяет условию задачи.

     Ответ: 6.

ЗАМЕЧАНИЯ.

А) В шаге 2) необязательно явно указывать 2 корня исходного уравнения. Допустимо использованиетолько положительности корней уравнения (*).
Б)  В шагах 2) – 3)  можно не объяснять,  как найдены корни квадратного уравнения.
В) В шаге 3) можно явно решить квадратное уравнение относительно t и указать его положительный корень.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С5
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения:            1)  тождественные преобразования показательных выражений и  оценка n меньше или равно 2 числа корней исходного уравнения;            2)  разбор случаев n = 2  и n = 1;            3) разбор случая n  =  0, проверка того, что р = 6 удовлетворяет  условию.           Обоснованы все моменты решения:            а) в шаге 2) явно указаны два корня исходного уравнения или же  их существование объяснено ссылкой на неравенство t > 0;                                                    б) в шаге 2) разбор случаев   n = 2  и n = 1 обоснован свойствами  квадратичной функции и/или явным указанием её нулей;            в) в шаге 3)  имеется ссылка на условие t > 0.
3	Все преобразования и вычисления верны.  Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения.           В шаге  3)   допустимо отсутствие обоснования в).  Обоснованы  ключевые моменты а) и б).           Допустимы 1  описка и/или негрубая вычислительная ошибка в   шаге  3),  не влияющие на правильность дальнейшего хода   решения. В результате может быть получен неверный ответ.
2	Приведена в целом верная,  но,    возможно,  неполная  последовательность шагов решения.  Верно выполнен шаг 1).  В   шаге 2) верно исследован только один из случаев n = 2 или n = 1.               При их рассмотрении обоснован хотя бы один из ключевых   моментов а), б).           Допустимо, что решение незавершено.
1	Общая идея,  ход решения верны.  Верно выполнен шаг  1):  исходное уравнение сведено кквадратному относительно новой переменной.   Получена оценка  n меньше или равно 2  числа корней исходного уравнения.             Допустимо, что решение не завершено.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценокв 1, 2, 3, 4 балла.

       © 2009 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации  :D С большим приветом к Dobryakу.

Критерии даны - поставьте себе оценку сами. Это был общедоступный демонстрационный пример задачи из раздела С за нумером 5.