Тред №318049

Чтобы освежить в памяти читателей вывод «классического» волнового уравнения в частных производных, приведу цитаты из учебника Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. «Уравнения в частных производных математической физики» (1970). Здесь это расписано довольно подробно, в отличие от многих других учебников, где внешняя сила часто вообще не упоминается и можно понять так, что однородное волновое уравнение способно описать любые волны, включая волны от источников. Текста много, все читать не обязательно, тем более тем, кто это помнит. Я буду ссылаться на определенные разделы в дальнейшем, так чтобы было под рукой. Поскольку цитат ну очень много, я выделил синим цветом мои комментарии, чтобы легче было отличить их от цитат.


Уравнение колебаний струны, стр. 12-15:
 





 
Решение Д'Аламбера этого уравнения, стр. 54-55:
 


 
Уравнения гидродинамики и звуковых волн, стр. 18-24:
 







  
Формула Пуассона, стр. 98-101:
 




 
Неоднородное волновое уравнение и запаздывающие потенциалы, стр. 105-109:
 





 
Приведу также цитаты из книги Курант Р., Гильберт Д. «Методы математической физики», т. 2 (1945).

Задача Коши для волнового уравнения, стр. 182-183:
 


 
Неоднородное волновое уравнение и запаздывающие потенциалы, стр. 187-191:
 





 
Проблема излучения, процессы распространения и принцип Гюйгенса, стр. 191-194:
 





 
На что здесь следует обратить внимание?
 
1. Весь анализ, все уравнения относятся к некому элементу среды, расположенному в произвольном месте. Не к источнику, который находится в совершенно другом месте и может двигаться, менять свою интенсивность произвольным образом, что угодно, а к элементу среды, находящемуся на некотором расстоянии от источника.

Если внешняя сила равна нулю, то есть в отсутствие источников волн, однородное волновое уравнение 

∂²u/∂t² – c²∂²u/∂x² = 0   или   ∂²u/∂t² – c²∇²u = 0 

описывает свободные колебания среды. Эти колебания, действительно, распространяются со скоростью  с, как единое целое, и для них выполняется принцип суперпозиции.

В случае однородного волнового уравнения, начальные условия принципиально не могут описать источник, который генерирует последовательные волны на протяжении какого-то периода времени. Начальные условия, по определению, могут описать лишь мгновенную деформацию, дислокацию, флуктуацию, пусть сколь угодно протяженную, пусть знакопеременную, пусть синусоидную, какую угодно, которая затем распространяется в пространстве и во времени. Это – не волны от источника, тем более движущегося.

В случае однородного волнового уравнения, граничные условия могут описать неподвижный источник волн (для струны, но не в трехмерном случае), но не движущийся.

Суммируя вышесказанное, подчеркнем, что так называемое однородное волновое уравнение вообще не следует называть волновым, потому что оно описывает только свободные колебания среды, а не волны от источника. Это уравнение свободных колебаний – так его и следует называть, чтобы не возникало путаницы с неоднородным волновым уравнением (неоднородным, потому что внешняя сила не равна нулю). «Настоящие» волны должны иметь источник.

2. Ключевую роль при выводе волнового уравнения играет принцип Д’Аламбера, согласно которому все силы, действующие на некий элемент среды, включая силу инерции, должны уравновешиваться. По сути, принцип Д’Аламбера – это не что иное, как Второй Закон Ньютона. Можно даже сказать, что волновое уравнение - это другая форма записи Второго Закона Ньютона. Именно в этом заключается его физический смысл. Да, волновое уравнение можно получить и другими способами (например, используя принцип Гамильтона), но это не отменяет тот факт, что оно эквивалентно Второму Закону.

3. В случае неоднородного волнового уравнения, где есть внешняя сила  F(x, y, z, t), эта сила действует непосредственно на сам элемент среды.  Если источник волн находится на каком-то расстоянии от данного элемента среды, скажем, в точке  Q(ξ, η, ζ), то сила  F(x, y, z, t)  для этого элемента равна нулю (согласно мат. физике). Сила  F(x, y, z, t) равна нулю везде, кроме той точки (или точек), где находится источник, то есть во всем остальном пространстве следует использовать однородное волновое уравнение. Казалось бы, в этом есть смысл: например, если мы рассматриваем световые волны от сверхновой звезды, которая взорвалась на расстоянии миллион световых лет от Земли, то очевидно, что интенсивность внешней силы в месте расположения источника была (миллион лет назад) во много раз больше, чем в настоящее время в месте расположении элемента светопроводящей среды на Земле.

Примеров такой логики в учебниках или статьях множество – хотя бы в цитированной выше книге Leigh Page (который, кстати, не с дуба упал – именно он в 1912 г. показал, что магнитное поле является релятивистским эффектом движения электрического заряда). Приведу лишь одну цитату из лекций не менее уважаемого Ричарда Фейнмана – Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские Лекции по Физике», т. 6 «Электродинамика» (1966), гл. 20, § 1:
 


 
Волновое уравнение с движущимся источником иногда записывается в несколько более сложной форме – см. Голдстейн М.Е. «Аэроакустика» (1981), стр. 52:
 

 
Здесь  ԏ – время, относящееся к излучению звуковой волны;  y – координаты источника;  δ(x) – δ-функция Дирака.

Очевидно, что использование  δ-функции имеет абсолютно тот же смысл: сила, с которой источник действует на среду, равна нулю везде, кроме той точки, где находится источник.

Итак, ситуация следующая. Где-то далеко есть источник, который двигается и непрерывно излучает волны. Эти волны, когда они доходят до интересующего нас элемента среды, действуют на него с определенной силой – но уравнения математической физики приравнивают эту силу нулю везде, кроме той точки, где находится (точнее, находился) источник. Волновое уравнение по сути является неоднородным только в этой точке, а во всем остальном пространстве, предлагается пользоваться однородным волновым уравнением, которое, как написано выше в пункте 1, способно описать лишь свободные, но не вынужденные, колебания среды.

4. Формула Пуассона, являющаяся решением трехмерного однородного уравнения 
∂²u/∂t² – c²∇²u = 0,  полностью аналогична решению Д’Аламбера одномерного однородного уравнения   ∂²u/∂t² – c² ∂²u/∂x² = 0.  Оба эти уравнения имеют следующий смысл: в начальный момент времени задается какая-то первоначальная мгновенная деформация или дислокация среды, которая затем распространяется в пространстве и во времени как единое целое, с постоянной скоростью  с.  В случае формулы Пуассона, лучи этой волны являются прямолинейными траекториями. 

Неоднородное волновое уравнение отличается от однородного тем, что деформация среды, создаваемая источником, более не является мгновенной, единичной. Источник, во-первых, локализован в определенном месте, причем он может двигаться. Во-вторых, он действует на протяжении длительного времени, генерируя новые и новые волны.

В первой половине XIX века, французский математик Жан-Мари Констан Дюамель предложил решение неоднородного волнового уравнения путем его сведения к известному решению однородного волнового уравнения, то есть к формуле Пуассона. Аналогично формуле Пуассона, лучи волн от источника, как предполагалось, тоже должны были распространяться по прямым линиям (как следствие принципа суперпозиции). Единственная разница с формулой Пуассона – время теперь стало выражаться с запаздыванием.

Я хочу показать, что это решение неоднородного волнового уравнения является не просто ошибочным. Эта ошибка фундаментальна настолько, что почти все последующее развитие физики было ложным. Дело в том, что волновое уравнение лежит в основе большинства разделов физики (аналогичные ошибки при решении других основных дифференциальных уравнений физики затрагивают остальные ее разделы). Самое главное – волновое уравнение лежит в основе теории электричества и магнетизма. Неправильное решение волнового уравнение, непонимание волновых процессов привели к тому, что практически всё, что написано в учебниках об электричестве и магнетизме, – неверно. Разумеется, тем более неверны теория относительности и квантовая механика. Все это нужно переписывать.

Но мы не можем сразу браться сейчас за электромагнетизм. Сначала нам необходимо разобраться с волновым уравнением. Только тогда, когда мы поймем, что происходит при распространении волн, мы сможем приступить к электромагнетизму. Нам нужно будет пересмотреть и теорию, и заново интерпретировать старые, давно известные экспериментальные факты, касающиеся электричества, магнетизма, оптики и акустики. При этом, что важно, мы получим множество сравнительно легко проверяемых следствий теории, новых эффектов, которые противоречат старой физике и не могут быть объяснены в ее рамках. Так что критерий фальсифицируемости, безусловно, выполнен.