Тред №324429

Чему равна сила звукового давления  ΔF, действующая на элемент объема?  Напомню, мы рассматриваем упрощенный вариант, где величина  pₐ  практически не меняется:  pₐ ≈ const. 

Вначале рассмотрим, чему равна сила звукового давления,  создаваемая покоящимся источником. Волны давления разбегаются от источника, но поскольку мы считаем, что  pₐ ≈ const,  то на смену одной волне тут же приходит другая, с тем же самым значением давления в этой точке. Соответственно, сила давления в этой точке тоже будет примерно константой. Поэтому, мы можем убрать индексы 1, 2, 3… единичных волн, а писать просто  p₀  и  ΔF₀  (0 обозначает СО покоящейся среды); они не зависят от времени. Эта ситуация аналогична электростатике в классической физике, потому она для нас особо интересна. Можно сказать, что классическая электростатика описывает источник с бесконечной длиной волны (в квантовой механике появляются длины волн Де Бройля и Комптона).

Очевидно, сила  ΔF₀  должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния  r   от источника, так же, как сила гравитации и Кулоновская сила. Величина же звукового давления  p₀  обратно пропорциональна расстоянию  от источника:

p₀ = pₐa / r = pₐa / (ct)

ΔF₀  =  – ∇p ΔxΔyΔz = (pₐa r / r³) ΔxΔyΔz = (pₐa c / (c³t²)) ΔxΔyΔz

Допустим, на оси  х  давление в точках  (x, 0, 0)  и  (x – Δx, 0, 0)  равно

p₀(x, 0, 0) = pₐa/x
p₀(x – Δx, 0, 0) = pₐa/(x – Δx)

Δp₀/Δx = (p₀(x, 0, 0) – p₀(x – Δx, 0, 0))/Δx =

= (1 – 1/(1 – Δx/x)) pₐa/(x Δx) ≈ (1 – (1 + Δx/x)) pₐa/(x Δx) = – pₐa/x²

Рассмотрим теперь источник, движущийся по оси  х  со скоростью  v. Обозначим  β = v/c.  Пусть в момент времени  t=0  источник находился в начале координат и излучил первую единичную волну, которая за время  t₁  распространилась во все стороны на расстояние  r₁’(t₁) = ct₁  (в СО покоящейся среды) и образовала сферическую поверхность, во всех точках которой звуковое давление одинаково и равно

p₁(t₁) = pₐa / r₁’(t₁) = pₐa / (ct₁)

Штрих у  r₁’  введен для единообразия обозначений с книгой Фейнмана, чтобы легче было сравнивать.

Чему будет равна сила,  создаваемая звуковым давлением в точке  Q₁(x₁, y₁, z₁)  на этой сфере? Пусть угол между направлением движения источника и направлением от источника к точке Q₁ в момент излучения равен  α₁.  Казалось бы, можно просто воспользоваться формулой

ΔF₁ =  – ∇p₁ ΔxΔyΔz = (pₐa r₁'/r₁’³) ΔxΔyΔz

Но это не так – дело в том, что выражение для  p₁  относится только к одной единичной волне, распространение которой удовлетворяет уравнению

r₁'(t) = ct = i x(t) + j y(t) + k z(t)

Как я детально объяснял ранее, точки  (x, y, z)  и  (x – dx, y, z)  относятся либо к разным моментам времени у одной единичной волны, либо к разным единичным волнам в один момент времени. Градиент же давления, по определению, мы должны искать в один и тот же момент времени, но в разных точках пространства. Следовательно, чтобы найти градиент давления в точке Q₁ в определенный момент времени, мы должны использовать не одну, а, как минимум, две разных единичных волны.

В момент времени  dt  источник излучает вторую единичную волну:

r₂’(t) – v dt = c (t – dt)

или

(x(t) – v dt)² + y²(t) + z²(t) = c² (t – dt)²

За время  dt,  источник сместился на расстояние  v dt  по оси  х  от начала координат.  Вторая единичная волна за время  t₁ – dt  проходит расстояние  c (t₁ – dt)  во все стороны. В направлении  r₁’,   эта волна в момент времени  t₁  окажется в точке  Q₂(x₂, y₂, z₂),  на расстоянии  Δr₁’   от точки Q₁. Это расстояние, очевидно, равно расстоянию  c dt,  которое не прошла вторая единичная волна по сравнению с первой, минус проекцию вектора v dt  на направление  r₁',  то есть  c dt β cos α₁:

Δr₁’ = c dt (1 – β cos α₁)
 

 
При этом, давление во всех точках сферы, образованной второй единичной волной, в момент  t₁  равно 

p₂(t₁) = pₐa / |r₂’(t₁) – v dt| = pₐa / (c (t₁ – dt))

Вектор градиента давления должен быть параллелен нормали к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного давления). Поскольку мы исходим из предположения, что фронт каждой волны совпадает с эквипотенциальной поверхностью, то градиент давления в каждой точке будет параллелен вектору  r'. Это означает, что градиент давления можно найти, просто продифференцировав  Δp  по  Δr’  в каждой точке (в один и тот же момент времени). Для точки  Q₁(x₁, y₁, z₁)  это будет:

Δp₁(x₁, y₁, z₁, t₁) / Δr₁’ = (p₁(t₁) – p₂(t₁)) / (c dt (1 – β cos α₁)) =

= – pₐa / (r₁’² (1 – β cos α₁)) = – pₐa / ((c t₁)² (1 – β cos α₁))

ΔF₁(x₁, y₁, z₁, t₁) =  pₐa r₁' / (r₁’³ (1 – β cos α₁)) ΔxΔyΔz = pₐa c / (c³t₁² (1 – β cos α₁)) ΔxΔyΔz

Кстати:

1 / (1 – β cos α₁) ≡ 1 / (1 – r₁'∙v / (r₁’c))

То есть, как видите, множитель вида  1 / (1 – r'∙v / (r’c))  у нас все-таки появился. Но он появился не для давления (то есть потенциала), а для силы давления. Есть разница (об этом ниже).

Вектор  r₁'  и угол  α₁  относятся к положению источника в запаздывающий, нулевой момент времени, тогда как давление  p₁  и сила  ΔF₁  определяются в момент времени  t₁.  За время  t₁,  пока волна проходила расстояние  r₁’  до точки Q₁, источник сместился по оси  х  на расстояние  vt₁ = βr₁’  от начала координат. Обозначим расстояние от источника  S(vt₁, 0, 0)  до точки  Q₁ (x₁, y₁, z₁)  как  r₁:

r₁ = ((x₁ – vt₁)² + y₁² + z₁²)^½

Далее обозначим 

u₁ = x₁ – vt₁ = x₁ – βr₁’.

Давайте перепишем уравнения для  p₁  и  ΔF₁  в точке  Q₁  относительно  r₁,  u₁,  y₁,  и  z₁,  вместо  r₁’,  x₁,  y₁,  и  z₁,  то есть относительно координат источника в момент  t₁,  а не относительно запаздывающих, координат источника в нулевой момент времени.

Воспользуемся уравнением:

r₁'² = x₁² + y₁² + z₁² = (u₁ + βr₁’)² + y₁² + z₁² ,

Раскрыв скобки и перенеся все налево, мы можем выразить  r₁'  через  u₁, y₁, z₁  и  β  путем решения квадратного уравнения

(1 – β²) r₁’² – 2 β u₁ r₁’ – (u₁² + y₁² + z₁²) = 0

Получим:

r₁' = (β u₁ + (u₁² + (1 – β²) (y₁² + z₁²))^½) / (1 – β²)

Давление в точке  Q₁  тогда равно:

p₁ = pₐa/r₁’ = pₐa (1 – β²) / (β u₁ + (u₁² + (1 – β²) (y₁² + z₁²))^½)

Так же мы можем выразить  ΔF₁  (в скалярной форме) через  u₁, y₁, z₁  и  β:

cos α₁ = x₁ / r₁'

А поскольку  x₁ = u₁ + βr₁’ ,  то

cos α₁ = β + u₁ / r₁’

r₁’ (1 – β cos α₁) = (1 – β²) r₁’ – β u₁ = (u₁² + (1 – β²) (y₁² + z₁²))^½

ΔF₁  =  pₐa / (r₁’² (1 – β cos α₁)) ΔxΔyΔz =
= pₐa / ((β u₁ / (1 – β²)½ + (u₁² / (1 – β²) + y₁² + z₁²)^½) (u₁² / (1 – β²) + y₁² + z₁²)^½) ΔxΔyΔz

В векторной форме,  ΔF₁  нужно умножить на единичный вектор в направлении  r₁':

ΔF₁ = ΔF₁ r₁'/r₁' = ΔF (r₁ + vt₁) / |r₁ + vt₁| = pₐa (r₁ + vt₁) / (|r₁ + vt₁| (β u₁ / (1 – β²)^½ + (u₁² / (1 – β²) + y₁² + z₁²)^½) (u₁² / (1 – β²) + y₁² + z₁²)^½) ΔxΔyΔz

Получилось довольно громоздкое выражение. Однако, все эти  x₁, y₁, z₁, u₁, t₁  – не переменные, а фиксированные значения. Они относятся только к одной единичной волне, к одному моменту времени и к трем точкам (начало координат О, положение источника в момент  t₁  и точка  Q₁). Как будут выглядеть уравнения для  p  и  ΔF  для разных моментов времени, где  x, y, z, u, t – это переменные, а не фиксированные значения?

Проведем прямую линию от положения источника в момент времени  t₁  (точка S)  к точке Q₁  (первая единичная волна из начала координат достигает ее также в момент  t₁).  Попробуем определить, чему равны давление  p  и сила  ΔF  в момент  t₁  в других точках прямой  SQ₁.  Введем переменные при помощи переменного коэффициента  ω:

u = ω u₁

Из вышеприведенного рисунка (где нарисованы первая и вторая единичные волны, точки О, S, Q₁  и  Q₂) видно, что тогда остальные переменные, относящиеся к этой прямой и к моменту  t₁,  тоже можно выразить через  ω  (ω₁, ω₂, ω₃ – разные значения):

y = ω y₁      z = ω z₁      r = ω r₁     

Давление в произвольной точке  Q(u, y, z)  будет равно

p = p₁ / ω = pₐa (1 – β²) / (ω (β u₁ + (u₁² + (1 – β²) (y₁² + z₁²))^½)) =

= pₐa (1 – β²) / (ω (β u/ω + ((u/ω)² + (1 – β²) ((y/ω)² + (z/ω)²))^½)) =

= pₐa (1 – β²) / (β u + (u² + (1 – β²) (y² + z²))^½)

Аналогично, для силы мы получим

ΔF  =  pₐa / ((β u / (1 – β²)^½ + (u² / (1 – β²) + y² + z²)^½) (u² / (1 – β²) + y² + z²)^½) ΔxΔyΔz

Очень хорошо, мы избавились от  ω  и оказалось, что для переменных  x, y, z, u  это уравнение выглядит точно так же, как и для фиксированных значений  x₁, y₁, z₁, u₁.  А поскольку угол  α₁  в первоначальном уравнении  мог быть произвольным и он определялся соотношением между  x₁  и  r₁’,  то уравнения для  p  и  ΔF  справедливы не только для прямой  SQ₁,  но во всем пространстве. Заметим, что время  t₁  или  t  в этих уравнениях вообще не фигурирует, потому что они записаны для системы отсчета источника, и здесь на место одной единичной волны сразу же приходит другая, с теми же значениями  p  и  ΔF  (см. выше об источнике в СО покоящейся среды и аналогии с электростатикой).

Однако время, безусловно, должно фигурировать в уравнениях для СО покоящейся среды. Давайте совершим обратный переход в эту СО. Заменим

u = x – vt

где  vt – это положение источника в момент  t.

p = pₐa (1 – β²) / (β u + (u² + (1 – β²) (y² + z²))^½) =

= pₐa (1 – β²) / (β (x – vt) + ((x – vt)² + (1 – β²) (y² + z²))^½)

ΔF  =  pₐa / ((β (x – vt) / (1 – β²)^½ + ((x – vt)² / (1 – β²) + y² + z²)^½) ((x – vt)² / (1 – β²) + y² + z²)^½) ΔxΔyΔz

ΔF = pₐa (r + vt) / (|r + vt| (β (x – vt) / (1 – β²)^½ + ((x – vt)² / (1 – β²) + y² + z²)^½) ((x – vt)² / (1 – β²) + y² + z²)^½) ΔxΔyΔz

Читатель, конечно, уже обратил внимание, что здесь «напрашивается» та же самая замена, что и в преобразовани Лоренца для координаты:

x' = (x – vt)/(1 – β²)^½ = γ (x – vt)

Да, уравнения для  p  и  ΔF  при этом немного упростятся:

p = pₐa / (γ (β x' + (x'² + y² + z²)^½)

ΔF  =  pₐa / ((β x' + (x'² + y² + z²)^½) (x'² + y² + z²)^½) ΔxΔyΔz

Ну и что? Что это нам дает? Абсолютно ничего. А вот на что следует обратить особое внимание, это на то, что уравнения в СО покоящейся среды и в СО источника выглядят совершенно одинаково по форме и переход между ними осуществляется согласно преобразованию Галилея:

p = pₐa (1 – β²) / (β u + (u² + (1 – β²) (y² + z²))^½)
↓
p = pₐa (1 – β²) / (β (x – vt) + ((x – vt)² + (1 – β²) (y² + z²))^½)

Уравнения для  ΔF  в разных системах отсчета выглядят тоже одинаково. В уравнениях в обеих СО, есть и  (1 – β²),  и  β,  и корень квадратный – в одинаковых местах. Более того, для вывода этих уравнений нам понадобилось перейти из СО покоящейся среды в СО источника при помощи преобразования Галилея, а потом обратно.

Между прочим, обратите внимание, что эти уравнения вовсе не описывают распространение сферических волн со скоростью  c.  Они описывают эквипотенциальные поверхности, которые, хотя и совпадают с мгновенным снимком фронтов волн, в отличие от последних, «заморожены» относительно источника. В СО источника, эквипотенциальные поверхности неподвижны. В СО покоящейся среды, они двигаются вместе с источником, с той же скоростью  v.  Как я уже говорил, это происходит потому, что на место одной единичной волны с определенными значениями  p  и  ΔF  тут же приходит другая волна, с теми же значениями. Это не статика в том смысле, что никакого движения нет; это динамическое равновесие.

Что касается фронтов волн, то они двигаются и в СО источника. Выведем формулу их распространения.

В СО покоящейся среды, фронты волн распространяются по формуле:

(x – ξ)² + y² + z² = c²(t – ԏ)²

где  ξ – координата источника по оси  x  в момент времени  ԏ,  когда была излучена соответствующая единичная волна. Если источник движется с постоянной скоростью  v,  то  ξ = vԏ.

При переходе в СО источника, мы должны воспользоваться преобразованием Галилея

u = x – vt    или    x = u + vt

Получим

(u + vt – vԏ)² + y² + z² = c²(t – ԏ)²

Чтобы смысл этого уравнения был более понятен, запишем его немного по-другому, через единичные волны. Пусть первая единичная волна была излучена в момент  dt  (а не в нулевой, как я раньше писал; сейчас я меняю нумерацию ради получения более простого уравнения, чтобы там не было  i -1),  вторая – в момент  2 dt,  третья – в момент  3 dt,  а  i-ая – в момент  i dt.  Тогда уравнение распространения  i-ой волны можно записать как

(x – v i dt)² + y² + z² = c² (t – i dt)²

где  ԏ = i dt,   ξ(ԏ) = v i dt.

Перейдем в СО источника, произведя замену  x = u + v t:

(u + v (t – i dt))² + y² + z² = c² (t – i dt)²

Это уравнение, действительно, описывает те самые сферические единичные волны, распространяющиеся со скоростью  c  и «сдуваемые» встречным ветром со скоростью  –v.  Так что описание волн давления в обеих СО выглядит полностью аналогичным. Галилей рулит.

Напомню еще раз, что всё это относится к упрощенному случаю очень большой длины волны, где мы можем считать, что давление на поверхности источника  pₐ ≈ const,  причем  pₐ > 0.  Пара слов о случае, когда  pₐ < 0  и при этом  pₐ ≈ const.  Здесь просто зеркальное отражение случая  pₐ > 0.  Вся разница в том, что силовые линии направлены не от источника, а к источнику. Все остальное то же самое – силовые линии искривляются точно так же, все формулы просто меняют знаки плюс на минус и наоборот.

В случае переменного давления, когда  pₐ  более не константа и постоянно меняет знак, формулы для звукового давления  p  и силы  ΔF  более выполняться не будут, они будут иметь более сложный характер. На каком-то участке волны сила  ΔF  будет направлена от источника, на другом участке – к источнику (точнее, к той точке, где был источник в момент излучения данной единичной волны).

Но что важно: силовые линии останутся теми же самыми, искривленными точно так же (хотя на каждой силовой линии  ΔF  будет многократно менять знак и величину). Потому что фронты волн давления, совпадающие с эквипотенциальными поверхностями, будут распространяться точно так же, а сила перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям.